프랙털(Fractal)이라는 용어는 1975년 브누아 망델브로(Benoit Mandelbrot)의 The Fractal Geometry of Nature에서 처음으로 이 단어를 사용하면서 명명되었다. 다만 프랙털의 개념 자체는 이전부터 인지되고 있었다. 예를 들면카를 바이어슈트라스가 제시한전구간 미분불능 연속함수는 프랙털의 성질을 보이고 있으며, 더 거슬러 올라가면야코프 베르누이가로그함수를 극좌표로 표현하면 자기유사성을 띠는 나선이 됨을 발견한 것이 있다. 어원은 '부서진'이라는 뜻의 라틴어 fractus에서 유래했다.어원 정보
프랙털 이론은 1975년망델브로 집합을 연구하면서 시작되었으며, 그 이후로 많은 사례들이 발견되었다. 그 후 자연계가 통계적인 프랙털[2]모양을 하고 있다는 사실이 밝혀지면서카오스 이론과 접목시켜서 자연을 모델링 하는데에 굉장히 유용하게 사용된다. 특히 망델브로 집합의 경계면에서는 극도로 미세하게 값이 달라져도 발산하거나 수렴하게 되는데초기 조건에 극히 민감한 결과를 갖는 시스템이라는 성격에 잘 부합된다.
고사리의 잎 윤곽이나 나무가 가지를 뻗는 양상, 리아스식 해안선의 모양,브라운 운동의 궤적 등 많은 것들이 자기유사성을 가지고 있다. 심지어 주식의 변동곡선도 하루 동안의 변화, 한 주 사이의 변화, 한 달, 1년 사이의 변화가 비슷한 형태로 나타나는 자기유사성을 띠고 있다.
이러한 프랙털의 자기복제적인 특징들은 아주 간단한 법칙도 되먹임하면 복잡한 양상을 이끌어낼 수 있음을 보여주고 있다. 이것은 전술한 대로 혼돈 이론을 묘사하는 도구 중 하나일 뿐 아니라,진화론상의 빈틈을 메꿔줄 도구로 사용될 수도 있다. 즉, 생물이 나타내는 복잡한 구조가 반드시 기적적인 우연을 필요로 하는 것은 아닐 수 있다는 주장이다.
<프랙털 항구>
컴퓨터상으로 몇 가지 간단한 재귀함수를 통해 구현할 수 있다. 예를 들면 이런 것.
<프랙털 이론을 응용하여 산의 모습을 만드는 과정>
어디서 많이 보던 형상이 아닌가하고 생각할텐데, 바로 3D 모델링 방법 중 그 유명한테셀레이션이다. 기술발전이 미미하던 과거에는 프리렌더링용 기법이었지만DirectX11 이후 리얼타임으로도 구현이 되어 간단한 도형가지고도 복잡한 모델을 구현할 수 있게 되었다.
프랙털 도형의 면적을 구하는 문제가 매년대학수학능력시험에 출제되고 있으며, 이 경우무한등비급수의 성질을 이용해 계산하는 문제로 나온다.[3][4]
일견 자명해 보이는조르당 곡선 정리의 증명에 대수적 위상수학을 쓰게 만든 원흉 중 하나이다. 조르당 곡선 정리를 쉽게 말하면 '폐곡선의 안과 밖을 나눌 수 있다'는 간단한 정리인데, 이 프랙털 구조와 실해석학이 만들어낸 온갖 기괴한 모양의 곡선들 때문에 증명이 쉽지 않다는 것을 깨닫았고, 대수적 위상수학을 사용해 어렵게 증명에 성공했으나 오스월드 배블런(Oswald Veblen)에 의해 오류가 있었음이 밝혀졌다가 토마스 C. 헤일즈(Thomas C. Hales)가 조르당의 증명에 문제가 없음을 밝혀냈다.
고사리의 잎모양이 프랙털과 관련이 있다. 프랙털 도형처럼 작은 잎과 큰 잎의 모양구조가 뜯어보면 상당히 유사하기 때문이다.참고
[1]'병리적'이라는 단어는실해석학의 시각에서 본 단어인데, 일반적인 수학적 대상(그 중에서도함수)과는 동떨어진 성질을 갖고 있어서 붙여진 이름이다.[2]완벽한 프랙털은 아니지만 대충 프랙털처럼 생긴 것.[3]사실 무한등비급수를 요약하면 동일 과정의 무한 반복이니 프랙털과 접근법이 똑같기 때문이다.[4]2021년 11월 시행된 2022학년도 대학수학능력시험에서는 출제되지 않았다. 단순 등비급수 계산 문항이 출제되었다.[5]사실 이것 말고도 문자로도 구현이 가능하다.[6]3Blue1Brown의 설명. 뉴턴-랩슨법이 어떻게 프랙털로 연결이 되는지 시각화해서 보여준다.[7]매 과정을 거칠 때마다 길이가2332배로 줄어들기 때문에, 이 과정을 무한히 반복하면�→∞(23)�=0n→∞lim(32)n=0이 되기 때문이다.[8]구간[0,1][0,1]의 수직선 구간에서 만들어진 칸토어 집합은 3진법으로0.�1�2�3⋯0.a1a2a3⋯으로 표현할 수 있으며, 각 자리가 0 혹은 2가 된다. 즉, 칸토어 집합을�C라고 하면,∀�∈�,�=∑�=1∞��3�∀x∈C,x=k=1∑∞3kak(단,��ak는 0 혹은 2)을 만족한다. 그런데, 3진법 소수에서 2진법 소수로의 대응함수�f를∀�∈�,�(�)=�(∑�=1∞��3�)=∑�=1∞��2�+1∀x∈C,f(x)=f(k=1∑∞3kak)=k=1∑∞2k+1ak와 같이 대응시킬 수 있다. 이 함수의 치역은 2진법 소수로[0,1][0,1]의 구간이기 때문에, 칸토어 집합과[0,1][0,1]사이에 일대일대응이 성립하여, 실수 집합과 농도가 같게 된다.[9]만델브로 집합의 일부분이기도 하다.http://www.youtube.com/watch?v=px4mqU9ZTSA[10]가끔 사상 최악의 방사능 오염치를 보였다는 미스테리 서클 사진으로 올라오고는 하는데 믿지 말자. 말했다시피 이건 프랙털 이미지일 뿐이다.[11]참고로 베이스가 되는 건정이십면체이다.[12]순환참조에 가깝다.
