[스크랩] 황금분할, 황금비율

우주를 지배하는 황금분할의 신비  -1987년 2월 사이언스지-

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인간은 왜 자연의 조형을 흉내내 스스로의 세계를 구축할까 ? 예술가는 어떻게 자연에 숨겨진 섭리에서 아름다움의 규범을 찾으려고 하였을까 ? 황금분할이란 그러한 인간과 자연의 영적인 대화에 의해 탄생한 조형미술의 비법이다.

컴퓨터 예술의 유행으로 수학과 예술 간에 관계가 있다는 것이 가볍게 인식되게 되고 있다. 이들 두 분야의 관련은 그러나 예상했던 것 이상으로 밀접하면서도 두텁다. 새로운 유행은 사실은,더 깊게 숨겨진 우주의 비밀을 재창조하는 커다란 회전을 위한 선도적인 역할을 맡고 있는데 지나지 않는다. 수학과 예술의 내밀적인 관계에 대해 놀라울 정도로 예민하였던 요하네스 케플러(1571~1630)는 저 유명한 케플러의 3법칙보다도 중요한 것에 언급하고 있다.

기하학에서는 피타고라스의 정리 외에도 또 하나의 귀중한 보물이 있다. 어떤 사람은 전자는 한줌의 금덩이에 불과하지만, 후자는 보석이라고도 말한다.

 

 

황금분할이란 어떤 것일까 ? 그것은 일찍부터 아름다운 모양을 규정하는 배분법이라고 생각되어 왔다. 더구나 그것은 뚜렷하게 측정할 수 있는 양이다.

 

중세의 오랜동안 석공이나 화가등 사원을 건축한 장인들 사이에서 비전이 되어온 황금분할을 공개한 사람은 승려인 프라르카 파티오리였다. 그는 1509년 이것을 '신성한 비례'라고 이름 붙였다. 그것은 신의 뜻에 따라 주어진 비법이며, 우주를 지배하고 있는 비례를 얻어 신과 합체하는 것이라고 꿈꾸었던 것이다.

 

한편 황금분할의 현대적인 재흥을 바라던 건축가 르코르비제는 1940년대 책장에서 광장에 이르기까지의 모든 공작물의 척도를 규정하는 모듀롤을 제창하였다. 그것은 인간이 만들어온 체격과 수학의 결합을 기준으로 하는 새로운, 그리고 어떠한 디자인에도 적용할 수 있는 황금의 척도이었던 것이다.

 

 

황금분할이 어떻게 나오는 것인지 실제로 구해보자.

우리가 보통 생각하는 미적인 분할이라고 하면, 그것은 아마도 대칭일 것이다. 그 말대로 대칭을 한가운데서 자르면, 균형 잡힌 아름다움이라고 말할 수 있을지도 모른다. 그렇지만 여기에 대해 불만을 느끼는 사람도 많다. 그래서 대칭에서 조금 밸런스를 빗나가게 하기도 한다.

 

아름다움에는 생기있고 다이나믹한 움직임이 없으면 안된다. 그리고 참된 아름다움에는 그러면서도 꽉 끼는 듯한 긴장감이 있다. 이것은 아름다움이라고 하기보다는 단아함과 같은 표현 쪽이 어울릴지도 모른다. 그렇다치고 단아한 분할의 양적 측정은 어떻게 하면 될까.

이것은 선분을 어느 위치에서 분할하면 좋게 느껴지는지 직접 눈금을 그어보면 알게 된다. 또 머리를 빗을 때 어느 자리에서 가르면 보기 좋은지 거울을 보면서 빗을 쥐고 있을 때의 느낌을 생각해 보면 된다. 이럴 때 느끼는 것이 7,3 비율, 즉 7:3 이라는 분할의 요령이다.

 

이에 비해 이론에 집착하는 기하학자들은 정밀한 각도의 계산을 시도한다. 우선 그림과 같은 정방형 ABCD를 그리고, 저변BC를 이등분하는 점 O를 구한다.  그 점을 중심으로 D에서부터 반지름으로 하는 원호를 그려, 저변 BB'과 교차하게 하여 C'을 구한다.

 

이렇게 하여 생긴 장방형 ABC'D'의 가로의 길이 BC' 의 점 C에 있어서의 분할, 이것이 컴퍼스와 정리에 의해 그려진 황금분할이다.  미국에서 나오는 펭귄북스와 같은 모양의 이 장방형은 황금장방형이라고 이름이 붙여져 있다.

 

 

- 황금장방형에서 황금나선으로 -

 

정신물리학의 창시자인 구스타프 페히너는 이미 100여년 전 사람들이 어떠한 장방형을 아름답다고 느끼는가 하는 것을 실험한 일이 있다.

여러가지 변의 비를 지닌 장방형을 늘어놓고, 그 중에서 하나를 고르게 하였다. 그 결과 3분의1 이상의 사람들이 이 황금장방형에 끌렸던 것이다. 이러한 황금장방형의 작도를 바탕으로, 황금분할의 값을 정확하게 계산해낼 수가 있다.

 

황금장방형의 저변을 높이로 나눈 값을 황금비 PHSAI = BC' / AB 이고, 피타고라스의 정리를 이용한 간단한 계산으로 그 값을 구할 수가 있다.  PHSAI = (ROOT(5) + 1)/5 = 1.618033989...... 수학에 약한 사람에게 있어서는 황금비는 참으로 신비한 수라고 할 수 있다.

 

1을 PHSAI로 나누어 보면 0.610...이 된다. 그 다음으로 PHSAI를 제곱해 보자. 그러면2.618...이 된다. 소수점 이하는 언제나 같고 정수 부분만 다르다. 

황금장방형은 정방형을 제외하여도 나머지 장방형이 황금장방형이 된다고 하는 무한연속의 매력을 지니고 있다.

이러한 황금장방형에 감추어진 밸런스감각을 인류는 태고적부터 기억에 남기려고 해왔다. 고대 이집트 피라밋의 구조가 황금비로 되어 있다는 것은 널리 알려져 있다. 이것은 밑변의 길이의 반을 1이라고 하면, 높이가 ROOT(PHSAI)가 된다. 또한 원주율로는 4개의 밑변 길이를 합한 값이 파리밋의 높이를 반지름으로 하는 원둘레와 같다. 고대 이집트에서는 이미 제1왕조기부터 호르스신을 조각한 사왕의 비등, 황 금분할을 복잡하게 짜넣은 작품을 볼 수 있다.

고대 그리스에서는 신전 건축이나 도기 또는 옹기의 장인들이 자유자재로 황금분할을 구사하여 조형하였다. 아테네의 파르테논 신전 정면은 황금장방형에 꼭 들어맞는다.

 

중세가 되자 황금분할은 석공들의 조합인 메이슨의 비전이 되었고, 그러한 솜씨가 사원건축과 종교화에 나타나게 된다. 르네상스 시대가 된 다음 이 비전은 공개되었고, 파티오리의 '신성한 비례'와 동시에 알브레히트 듈러의 묵시록 목판화나 인체비례론, 레오나르도다빈치의 몇개인가의 제단그림으로 크게 빛을 내게 된다.

근대회화에서 황금분할을 소생시킨 것은 후기인상주의로 분류되는 조르지슬러나, 폴 세잔느이었다. 중세까지만해도 비전이었던 황금분할은 근대에 들어서 공개되었다고는 하지만, 역시 예술가나 수학자사이에서의 직업상의 비밀이었다. 이 때문에 황금분할의 단아한 아름다움이 어디에서 오는 것인지, 또 그 뜻에 대해서는 거의 해명되고 있지 않았다. 이것을 밝히려면 나선의 패턴을 눈여겨 둘 필요가 있다.

 

황금장방형에 차례로 정방형을 붙여나가면 차례로 커다란 황금장방형을 만들 수 있다. 이때 나선상에 정방형을 붙여주면 차례로 내접원을 그릴수 있다. 이것이 이른바 황금나선이다.

 

흥미로운 일로 자연계에는 황금나선을 아주 닮은 소용돌이 모양이 많이있다. 조개껍질이나 뿔, 꽃씨의 배열, 태풍이나 와상성운등 을 당장 들 수 있다. 이들의 모양은 대수나선이라고 불리는데, 황금나선을 닮은 것일수록 우리들 사람들에게 신비감을 준다. 이 비율에 가장 가까운 것이 앵무조개일 것이다.

 

하지만, 황금나선의 아름다움은 사실은 그 모양에 있는 것이 아니라는 점에 주의를 할 필요가 있다. 또 자연계에는 황금나선과 정확하게 꼭 같은 것도 없다. 그렇다면 과연 사람들은 무엇에 대해 아름답다고 느끼고 있는 것일까.

 

이들의 소용돌이 모양은 어느 것이나 유기체적인 성장의 부산물이다. 예를들어 조개껍질은 살아있는 조개가 분비한 물질이 차례차례로 축적되어 만들어져 가는것이다.

죽은 딱딱한 껍질과 생기있는 성장의 경계에서 이것이 발현되는 것이다. 그러한 사실을 깨닫게 되면 우리는 경탄할 도리밖에 없으며, 또 그것이 황금나선을 만들려고 끊임없는 노력을 하고 있다는 것을 보아넘겨서도 안될 것이다. 황금나선은 유기적인 성장의 시작과 끝에서 환시되는 원형이라고도 할 수 있을 것이다. 그것은 현실적으로는 있을 수 없지만, 흔들거리는 소용돌이의 저 먼곳에 인간인 기하학자가 컴퍼스와 자로 나타내 보인 영원의 이데아이다.

 

 

- 전진하는 황금비 피보나치수 -

 

흔히 말하기를 중세는 암흑의 시대이었다고들 한다. 그러나 그 시대가 그러한 시대가 아니었다는 것이 최근에 일고 있는 중세론 붐속에서 점차 밝혀져가고 있다.

그리스나 아랍문화를 받아들인 12세기 르네상스의 다음 세기에는 베네치아 공화국이 세계의 상업도시로 번영하는 황금시대가 시작된다. 그리고 900년 동안 계속된 중세의 최대의 수학자이자 서구수학의 아버지라고 불리는 인물이 등장한다. 그의 이름은 피자의 레오나르도(1170-1240)이었다. 통칭 피보나치로 불리는 그는 상인이었던 보나치오의 아들, 또는 호인의 아들이라는 뜻에서 그렇게 불렸던 거 같다. 그는 이슬람인 선생아래서 배우고 이집트, 시리아, 그리스등의 여러나라를 돌아다니며 견문을 넓혔다.

그는 귀국한 다음 인도,아 라비아 산수를 처음으로 체계적으로 서구세계사에 소개했다. 9개의 인도 숫자 와 아라비아어로 ZEPHIRUM이라고 불리는 0의 사용도 이때 비롯되었다. 1202년 레오나르도는 '산반의 서'를 완성하였다. 이것은 '산반'이라고는 되어 있지만 주판에 관한 책이 아니라, 대수적인 방법에 대해 쓴 논문이다. 그 내용은 아주 고도의 것으로 난해하였기 때문에 누구에게도 이해를 받지 못해 19세기에 들어서야 비로소 인쇄된 것으로 전해지고 있다.

 

 

이 책은 대단히 힘든 책이긴 하지만, 그 중에서 한가지 유별나게 재미있는 것이 있다. "만일 한쌍의 토끼가 매달 한쌍의 토끼를 낳고, 태어난 한쌍의 토끼는 다음 다 음달, 생후 2개월째부터 한쌍의 토끼를 낳기 시작한다고 하면, 한쌍의 토끼로 부터 따져 1년동안에 합계 몇쌍의 토끼가 태어나게 될까" 라고 하는 것이다.

물론 태어난 어느 한쌍의 토끼도 생후 2개월이 되면 1쌍의 토끼를 낳고, 그 뒤 에도 매달 1 쌍의 토끼를 낳으며, 토끼는 죽지 않는것으로 따진다. 이 토끼의 증식문제에는 쌍에 의해 새끼가 태어 난다는 것, 성장기간이 있다 는 것, 이 두가지를 자연계의 생장현상에서 끌어내 단순화한 이상적인 것을 기 억하자. 한달째는 갓 태어난 한쌍의 토끼만이 있다. 두달째는 아직도 한쌍인 채이다, 석달째에는 두쌍이 되고, 넉달째에는 세쌍이다. 다섯달째에는 다섯 쌍....하는 식으로 토끼는 늘어간다. 이것을 차례대로 써가면 다음과 같이 된다.

0,1,1,2,3,5,8,12,21,34,55,89,144,233,377,610,..... 이것을 피보나치 수라고 한다. 이것은 19세기가 된다음 이름이 붙여졌기 때문에 새로운 것이라고 생각하는 사람이 많다. 이 수열은 또 다음과 같이 구성되어 있다고 생각하여도 된다. 최초의 두항을 제외하고, 각항은 어느 것이나 그 앞의 2개의 항을 합친것이라고, 그런데 그것만은 아니다. 3개의 연속적인 항은 다음과 같은 관계를 가지고 있다.

 

2 X 5 - 3^2 = 1, 5 X 13 - 8^2 = 1, 13 X 34 - 21^2 = 1,..... 3 X 8 - 5^2 = -1, 8 X 21 - 13^2 = -1, 21 X 55 - 34^2 = -1,.....

 

또 피보나치수의 마지막 자리의 숫자를 배열하면 60항의 주기로 순환한다.  그렇다치고 가장 중요한것은 이제부터이다. 이번에는 피보나치 수의 하나의 항과 다음항의 비를 생각해 보기로 하자.

 

1/1 = 1, 3/2 = 1.5, 8/5 = 1.6, 21/13 = 1.615..., 55/34 = 1.6176..., 2/1 = 2, 5/3 = 1.66666 13/8 = 1.625 34/21 = 1.619... 89/55 = 1.618...

 

이렇게 해보면 점점 황금비에 가까워져 가는 것을 알수 있다. 다시 더욱 상세하게 계산해보면 확실히 황금비 = 0.61803...에 접근해 간다. 실로 피보나치 수는 황금비를 지향해 한발 한발 전진하는 걸음이라고 할수 있다.

피보나치수 에 있어서 수의 배열은 자연계, 특히 식물계의 세계에서 광범하게 발견할 수 가 있다. 그것은 황금비를 향해 올라가는 나선운동이며 엽서, 잎의 순서라는 말로 집약할수 있다. 식물의 줄기나 가지에서 돋고 있는 잎의 배열을 살펴보기로 하고, 뿌리쪽으로부터 차례로 위로 하나하나 조사해 가기로 하자.

 

느티나무나 엉거시과나무등에서는 가지에서 서로 엇갈려 반대쪽으로 잎이 돋아있다. 이것을 2분의1 나선의 엽서라고 한다. 떡갈나무나 살구나무등의 나무는 가지를 두바퀴돌아 밑으로부터 5장째에서 다시 최초의 잎의 위치로 돌아간다. 이것을 위에서 보면 시계가 도는 방향으로 5분의 2씩 회전하고 있어 5분의2 나선엽서라고 한다.

이밖에도 너도밤나무같은 경우의 3분의1 엽서, 포플러나 배나무같은 8분의3 엽서, 수양버들 등의 13분의5 엽서등이 잘 알려져 있다. 여기에서 나 오는 숫자는 어느 것이나 피보나치 수열에 나오는 특징적인 것이다.

 

 

- 아직 해결안된 괴테의 명제 -

 

엽서에는 또 한가지 다른 형태가 있고, 이쪽이 더욱 재미있다. 이제 막 많은 작은 꽃이 피고, 머지않아 씨가 생길 해바라기의 화반을 생각하기로 하자.

 

한 눈으로 알수 있듯, 작은 꽃 또는 씨는 나선성으로 분포되어 있다. 그것도 중심에서 둘레 가장자리로 방사하는 2개의 나선, 즉 시계돌기와 반시계돌기의 2조로 되어있고, 그 교차하는 점에 작은 꽃이나 씨가 있다.

이 나선은 대수 나선으로 황금나선을 닮고 있다. 하지만, 이 나선모양은 대칭이 되어 있는 것 같지 않고, 그것이 마음에 걸린다. 그래서 귀찮기는 하지만, 나선이 도대체 몇가닥이나 있는가 세어보자.

 

보통 크기의 해바라기이면 일반적으로 시계돌기의 나선이 34개, 반시계돌기의 나선이 55개 있다. 즉 55/34의 비율이 된다는 것이 알려져 있다. 작은 해바라기일 경우는 20/13 이거나 34/21 비율도 있고, 아주 큰 해바라기이면 144/89의 비율이 되는 것도 있다. 이들 숫자도 역시 앞서 본 일이 있던 것들 뿐으로, 또 피보나치수로 서로 이웃하고 있는 것들 끼리이다.

 

그래서 이들의 비율을 계산해보면 황금비에 가까운 값이 된다. 해바라기의 경우 위에서 보아 반시계돌기의 소용돌이 쪽이 황금비의 몫만큼 강하다고 하는 것일까. 해바라기의 화반표면에 나타난 2조의 나선은 자연계의 잠재적인 구조를 나타내고 있는 것같이 생각된다.

반시계돌기가 확장하는데 대해, 시계돌기는 그것에 거슬리는 형태로 피드백하는것이라고나 할 수 있을지. 그중에는 매우 흩뜨러진 화반도 있지만, 그 가운데에는 자연계의 이상상태를 알려주고 있는 것도 상 당히 있는 것 같다.  이와 같은 형태는 해바라기 이외에도 국화나 들국화, 소나무나 전나무의 열매, 선인장의 가시, 파인애플의 껍질등에서도 볼 수가 있다.

 

 

황금비를 바라보고 점점 올라가는 나선운동인 피보나치수의 내밀적인 긴장감을 충분히 표현할수 있는 예술형식은 공간적인 회화가 아니라. 시간적인 음악일 것이다. 헝가리 출신의 세계적인 음악가 베라 바르토크(1881-1945)는 이것을 살짝 실험해 본일이 있다.

바르토크라고 하면 민족음악을 소재로 신고전주의적으로 어레인지한 작곡가라고 잘못 알려져 있는데, 그것은 표면상의 얼굴에 불과하다.

 

예를 들면, '현악기와 타악기, 그리고 체레스터를 위한 음악'(1936년)에서는 곡의 진행절목이  1,5,8,13,21,34,55,89 소절목에, 또 음정은 반음을 1로 해 1,2,3,5,8,13,21을 적용하고 있다. 이 이외에도 바르토크는 '알레그로 바루바로' 이래 황금분할을 포함한 폭넓은 실험을 시도하고 있는데 이러한 작곡의 비밀이 알려진 것은 그가 죽은 다음의 일이었다.

 

혼돈되고 거칠면서도(바루바로) 과급속(프레스토)이나 중용(모데라토)에도 치우지지 않는 쾌활(알레그로)한 조화를 지향하는 피보나치수의 긴장...그것은 원래는 생체의 장의작용이라고 할 수 있다. 그것이 자연계에서 널리 볼 수 있는 것과 동시에 예술과 같은 주관적인 것에도 나타나고 있는 것이다.

이 양쪽에 조예가 있고 유기체의 형성과 변성을 익히 보아온 과학자이자 대문호인 괴테는 "자연계에는 향상하는 나선적인 경향이 있다"는 수수께끼같은 명제를 남겼는데, 이 수수께끼는 날이 갈수록 더욱 깊어져 가고 있다. 그리고, 수학자나 예술가가 사명을 다해낸 현재, 새롭게 등장하는 것은 생명을 연구하는 기술자들 일것이다.

 

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출처 : 바른말 바른사회

글쓴이 : 알마자야 원글보기

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